Hummm... résumons :
1) il n'a pas peur des autres en liberté
2) il est irrespectueux en main
3) le problème se pose quand il est monté, et dans des allures vives
>> ça amène facilement à penser que son comportement monté est également dans le registre de l'irrespect, même si un peu d'émotionnel/d'influx nerveux qu'il ne sait pas gérer lui même vient compliquer tout ça
Et l'irrespect, que ce soit en main (c'est la base !) ou monté, ça peut se travailler... à condition d'être bien accompagné pour ça (comportementaliste comme le suggère Colomba, mais il vaut mieux trouver tout de suite un vraiment bon, pour un cas bien corsé comme tu sembles le décrire, sous peine de compliquer encore plus les choses...)
A vérifier aussi, d'éventuels facteurs aggravants, en se souvenant que ce qui est sans conséquence sur la majorité des chevaux peut être source de perturbations importantes chez certains autres :
- son mode de vie (enfermement, interactions sociales avec d'autres chevaux, manque de détente par rapport à son influx nerveux "de base"),
- son alimentation (trop énergisante par rapport à son tempérament/son travail)
- son travail (difficulté à gérer ce qui lui est demandé : difficulté, progressivité, intensité des exercices...)
As-tu essayé de lui donner une longue détente en liberté ou en longe avant de le monter ? Un détente longue mais dans un relatif calme aux trois allures, pas une séance de n'importe quoi en vrac pour le fatiguer, hein !